酉向量
定义：
“酉”（unitary）其实就是复数版本的“正交”（orthogonal）。
$$
u_i^* u_j= \begin{cases}1 & i=j \ 0 & i \neq j\end{cases}
$$
- 不同向量之间“完全不相关”（正交）
- 每个向量长度为 1（归一化）
来源
常规的两个向量的投影计算方法如下：
$$
\operatorname{proj}_v(x)=\frac{v^T x}{v^T v} v
$$
可是需要计算$v$向量的模长，需要计算投影数值，非常麻烦，因此引入酉向量。
$$
u=\frac{v}{|v|} \text { ( }|v| \text { 是 } v \text { 的长度), 所以 } v=|v| \cdot u \text {; }
$$
$$
\begin{aligned}
&\text { 把 } v \text { 代入原公式：}\
&\operatorname{proj}_v(x)=\frac{(|v| u)^T x}{(|v| u)^T(|v| u)} \cdot(|v| u)=\frac{|v|\left(u^T x\right)}{|v|^2\left(u^T u\right)} \cdot|v| u
\end{aligned}
$$
而酉向量满足 $u^T u=1$ ，所以上面的 $|v|$ 和分母的 $|v|^2$ 会抵消，最后就变成：
$$
\operatorname{proj}_u(x)=\left(u^T x\right) \cdot u
$$
举例
举个例子验证下：
用之前的 $v=\left[\begin{array}{l}1 \ 2\end{array}\right] 、 x=\left[\begin{array}{l}3 \ 4\end{array}\right]$ ：
- 酉向量 $u=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{l}1 \ 2\end{array}\right]$ ；
- 算内积 $u^T x=\frac{1}{\sqrt{5}}(1 \times 3+2 \times 4)=\frac{11}{\sqrt{5}}$ ；
- 投影向量 $\operatorname{proj}_u(x)=\frac{11}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{l}1 \ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{11}{5} \ \frac{22}{5}\end{array}\right]$ ，和之前的结果完全一样！
酉矩阵
定义
酉矩阵是 “由标准共轭正交向量组构成的矩阵”，核心作用是保持内积、模长不变（类似几何中的 “旋转 / 反射” 变换，不改变向量的长度和夹角）
复数域：
设 $U$ 是 $n \times n$ 复矩阵，若其满足 共轭转置等于逆矩阵，即：
$$
U^* U=U U^*=I_n
$$
则称 $U$ 为西矩阵（其中 $U^*$ 是 $U$ 的共轭转置，$I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵）。
实数域：
当 $U$ 是实矩阵时，共轭转置 $U^*=U^T$（实向量共轭不变），定义简化为：
$$
U^T U=U U^T=I_n
$$
这就是实数域中的正交矩阵（如旋转矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ 是 2 阶正交矩阵）。
酉矩阵的核心意义
- 内积不变：$\langle U \vec{x}, U \vec{y}\rangle=\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle$
- 模长不变：$|U \vec{x}|=|\vec{x}|$（令 $\vec{y}=\vec{x}$ 推导）
几何意义：酉矩阵对向量的变换是 “保长保角” 的，比如复数域中的 “旋转”“反射”，不会拉伸或压缩向量，也不会改变向量间的夹角。
投影 / 对角化简化：在特征值分解、奇异值分解（SVD）中，酉矩阵是核心工具（如正规矩阵可通过酉矩阵对角化），且计算过程中保持内积不变，结果更简洁。
扩展：共轭正交向量组
“共轭正交” 是复数域中 “垂直” 概念的推广
- 在抽象空间里区分 “互不干扰的方向”（类似平面中 x 轴和 y 轴垂直，彼此不重叠）；
- 保证向量间的 “独立性”（后续会说的线性无关）；
- 简化计算（比如投影、矩阵分解时，共轭正交向量组的系数可以直接用内积算）。
$\vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots, \vec{u}_k$ 是非零的共轭正交向量组（即 $\left\langle\vec{u}_i, \vec{u}_j\right\rangle=0$ 当 $i \neq j$ ，且 $\vec{u}_i \neq \overrightarrow{0}$ ）
共轭正交向量组线性无关。
酉矩阵举例
举例1：
＂例如， 2 阶复矩阵 $U=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \ \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$ ，计算其共轭转置 $U^=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \ -\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$ ，验证得 $U^ U=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 1\end{array}\right)=I_2$ ，因此 $U$ 是酉矩阵。其列向量 $\overrightarrow{u_1}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{i}{\sqrt{2}}\right)^T$ 和 $\overrightarrow{u_2}=\left(\frac{i}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T$ 满足 $\left\langle\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_1}\right\rangle=1,\left\langle\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right\rangle=0$ ，即标准共轭正交向量组，这与酉矩阵的等价定义一致。＂
举例2：
例：验证 $\boldsymbol{U}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1 & i \ i & 1\end{array}\right)$ 是否为西矩阵。
解：计算 $\boldsymbol{U}^H$（共轭转置）： $\boldsymbol{U}^H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1 & -i \ -i & 1\end{array}\right)$ ；
验证 $\boldsymbol{U}^H \boldsymbol{U}:$
$$
\boldsymbol{U}^H \boldsymbol{U}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & -i \
-i & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & i \
i & 1
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 \cdot 1+(-i) \cdot i & 1 \cdot i+(-i) \cdot 1 \
-i \cdot 1+1 \cdot i & -i \cdot i+1 \cdot 1
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
2 & 0 \
0 & 2
\end{array}\right)=\boldsymbol{E}
$$
同理 $\boldsymbol{U} \boldsymbol{U}^H=\boldsymbol{E}$ ，故 $\boldsymbol{U}$ 是酉矩阵。
向量范数
1．非负性：$|\vec{x}| \geq 0$ ，且 $|\vec{x}|=0 \Longleftrightarrow \vec{x}=\overrightarrow{0}$ ；
2．齐次性：$|k \vec{x}|=|k| \cdot|\vec{x}|$（ $|k|$ 是数的模）；
3．三角不等式：$|\vec{x}+\vec{y}| \leq|\vec{x}|+|\vec{y}|$ ；
则称 $|\cdot|$ 是 $V$ 上的一个向量范数。
三种范数，分别是曼哈顿距离、欧氏距离、还有最大摸范数
例 1 设 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in C^n$ ，则
（1）$|x|1=\sum{i=1}^n\left|x_i\right|$
（2）$|x|2=\left(\sum{i=1}^n\left|x_i\right|^2\right)^{1 / 2}$
（3）$|x|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n}\left|x_i\right| \quad \longleftrightarrow \quad \infty$ 范数
考察方式
例题1：
酉矩阵的性质 + 向量 2 - 范数的保范性
要判断 $|\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}|_2=|\boldsymbol{x}|_2$ 是否成立，看看向量二范数是如何计算的即可，也就是向量的转置乘上向量自己。
第一步：计算 $|\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}|_2^2$（2－范数的平方，避免开根号，计算更简单）：根据向量 2 －范数的定义，$|\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}|_2^2=(\boldsymbol{U} \boldsymbol{x})^H(\boldsymbol{U} \boldsymbol{x})$（共轭转置乘以自身）。
第二步：展开共轭转置（矩阵乘法的共轭转置规则：$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^H=\boldsymbol{B}^H \boldsymbol{A}^H$ ）： $(\boldsymbol{U} \boldsymbol{x})^H=\boldsymbol{x}^H \boldsymbol{U}^H$, 因此：
$$
|\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}|_2^2=\boldsymbol{x}^H \boldsymbol{U}^H(\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}) 。
$$
第三步：利用酉矩阵的定义 $\left(\boldsymbol{U}^H \boldsymbol{U}=\boldsymbol{E}\right)$ ：结合矩阵乘法的结合律， $\boldsymbol{U}^H(\boldsymbol{U} \boldsymbol{x})=\left(\boldsymbol{U}^H \boldsymbol{U}\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{E} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}$ ，因此：
$$
|\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}|_2^2=\boldsymbol{x}^H \boldsymbol{x} 。
$$
第四步：回归2－范数定义：
因为 $|\boldsymbol{x}|_2^2=\boldsymbol{x}^H \boldsymbol{x}$ ，所以 $|\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}|_2^2=|\boldsymbol{x}|_2^2$ 。
又因为范数是非负数（正定性），两边开根号后得 $|\boldsymbol{U} \boldsymbol{x}|_2=|\boldsymbol{x}|_2$ 。
Kronecker 积
定义
设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B=\left(b_{k l}\right)$ 是 $p \times q$ 矩阵，则 $A \otimes B$（读作＂ A 克罗内克积 B ＂）是一个 $(m \times p) \times(n \times q)$ 矩阵，定义为：
$$
A \otimes B=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} B & a_{12} B & \ldots & a_{1 n} B \
a_{21} B & a_{22} B & \ldots & a_{2 n} B \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m 1} B & a_{m 2} B & \ldots & a_{m n} B
\end{array}\right)
$$
我的理解：就是第一个矩阵的每个元素都乘上第二个矩阵的全部，合起来的大矩阵。
核心性质
1．不交换性（重点！）
$A \otimes B \neq B \otimes A$（除非 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 是特殊矩阵，如单位矩阵）
2．结合律
$(A \otimes B) \otimes C=A \otimes(B \otimes C)$（可以任意加括号，结果不变）
3．数乘结合律
$$
(k A) \otimes B=A \otimes(k B)=k(A \otimes B) \text { ( } k \text { 是常数) }
$$
4．分配律
- $(A+C) \otimes B=A \otimes B+C \otimes B$（左分配）
- $A \otimes(B+D)=A \otimes B+A \otimes D$（右分配）
（要求 A 与 C 同维度， B 与 D 同维度）
5．转置／共轭转置性质
- 转置：$(A \otimes B)^T=A^T \otimes B^T$（转置的积 $=$ 积的转置）
- 共轭转置：$(A \otimes B)^=A^ \otimes B^*$（复矩阵常用）
- 例子：例 1 中 $(A \otimes B)^T=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 3 \ 1 & 0 & 3 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 4 \ 2 & 0 & 4 & 0\end{array}\right)$ ，而 $A^T \otimes B^T=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \ 2 & 4\end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right)$ ，结果一致。
- 注意：共轭转置（H），普通转置（T）
应用场景
- 矩阵方程求解：把高维矩阵方程转化为线性方程组（如控制理论中的 Lyapunov 方程）；
- 张量表示：图像、视频等张量数据可通过 Kronecker 积分解为小矩阵，简化计算；
- 信号处理：多通道信号的滤波、卷积运算，用 Kronecker 积统一表示；
- 量子力学：量子态的直积表示（如两个量子比特的联合态）。
例子
例 1： $2 \times 2$ 矩阵 $\times 2 \times 2$ 矩阵
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right)$ ，则：
$$
A \otimes B=\left(\begin{array}{ll}
1 \cdot B & 2 \cdot B \
3 \cdot B & 4 \cdot B
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}
1 \times 0 & 1 \times 1 & 2 \times 0 & 2 \times 1 \
1 \times 1 & 1 \times 0 & 2 \times 1 & 2 \times 0 \
3 \times 0 & 3 \times 1 & 4 \times 0 & 4 \times 1 \
3 \times 1 & 3 \times 0 & 4 \times 1 & 4 \times 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 2 \
1 & 0 & 2 & 0 \
0 & 3 & 0 & 4 \
3 & 0 & 4 & 0
\end{array}\right)
$$
例 2： $1 \times 2$ 向量（行向量）$\times 2 \times 1$ 向量（列向量）
设 $A=[1,2](1 \times 2), B=\binom{3}{4}(2 \times 1)$ ，则：
$A \otimes B=\left(\begin{array}{ll}1 \times 3 & 2 \times 3 \ 1 \times 4 & 2 \times 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 & 6 \ 4 & 8\end{array}\right)$（结果是 $(1 \times 2) \times(2 \times 1)=2 \times 2$ 矩阵）
向量化算符Vec
定义
向量化算符是把 “矩阵” 转换成 “列向量” 的工具，核心是 “按列堆叠”，能将矩阵运算转化为向量运算
对 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，先把 $A$ 按列拆分为 $n$ 个 $m$ 维列向量 $A_{c 1}, A_{c 2}, \ldots, A_{c n}$（即 $A=\left(A_{c 1}, A_{c 2}, \ldots, A_{c n}\right)$ ）；
然后把这些列向量依次堆叠成一个长列向量，结果就是 $\operatorname{Vec}(A)$（读作＂Vec A＂），维度是 $(m \times n) \times 1$ ，公式为：
$$
\operatorname{Vec}(A)=\left(\begin{array}{c}
A_{c 1} \
A_{c 2} \
\vdots \
A_{c n}
\end{array}\right)
$$
直观例子
比如 $2 \times 3$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6\end{array}\right):$
- 按列拆分：$A_{c 1}=\binom{1}{4}, A_{c 2}=\binom{2}{5}, A_{c 3}=\binom{3}{6}$ ；
- 堆叠成列向量：
$$
\operatorname{Vec}(A)=\left(\begin{array}{c}
1 \
4 \
2 \
5 \
3 \
6
\end{array}\right)
$$
重要性质
1．线性性：
对矩阵 $A, B$ 和常数 $k$ ，有 $\operatorname{Vec}(k A+B)=k \operatorname{Vec}(A)+\operatorname{Vec}(B)$（和向量的线性性质一致）；
2．与 Kronecker 积的结合：
若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $p \times q$ 矩阵，$X$ 是 $n \times p$ 矩阵，则 $\operatorname{Vec}(A X B)=\left(B^T \otimes A\right) \operatorname{Vec}(X)$（矩阵乘法的向量化公式，常用）。
从维度的角度来理解，这个结论需要直接记住，在后面需要经常用到
推论：
推论1．矩阵方程转线性方程组：
比如矩阵方程 $A X+X B=C$ ，用 $\operatorname{Vec}$ 算符可转化为 $\left(I \otimes A+B^T \otimes I\right) \operatorname{Vec}(X)=\operatorname{Vec}(C)$（结合 Kronecker 积），变成普通线性方程组求解；
推论2：$A \in C^{m \times m}, ~ B \in C^{n \times n}, ~ X \in C^{m \times n}$ ，则
（1） $\operatorname{Vec}(A X)=\left(E_n \otimes A\right)$ Vec $X$ ；
（2）Vec $(X B)=\left(B^T \otimes E_m\right) \operatorname{Vec} X$ ．
解决矩阵方程
例2：解矩阵方程
$$
\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
x_1 & x_3 \
x_2 & x_4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
c_{11} & c_{12} \
c_{21} & c_{22}
\end{array}\right)
$$
解: $A X=C \Rightarrow$
$$
\operatorname{Vec}(A X)=(E \otimes A) \operatorname{Vec} X=\operatorname{Vec}(C) \Rightarrow
$$
$$
\left(\begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & & \
a_{21} & a_{22} & & \
& & a_{11} & a_{12} \
& & a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \
x_2 \
x_3 \
x_4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
c_{11} \
c_{21} \
c_{12} \
c_{22}
\end{array}\right)
$$
已知A，已知C，则可以把X直接求出来。
矩阵范数
定义
设 $A \in P^{m \times n}$ ，则
$$
\begin{aligned}
& |A|{m_1}=\sum{j=1}^n \sum_{i=1}^m\left|a_{i j}\right| \
& |A|{m_2}=\left(\sum{j=1}^n \sum_{i=1}^m\left|a_{i j}\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \
& |A|{m{\infty}}=\max {i, j}\left{\left|a{i j}\right|\right} \quad 1 \leq i \leq m \quad 1 \leq j \leq n
\end{aligned}
$$
三种定义，分别和向量的定义相似。这里的行和范数需要注意，也就是第三类：
向量的行和范数
定义
对 $n$ 维向量 $\vec{x}=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)^T, \infty$－范数是向量各分量的模的最大值：
$$
|\vec{x}|_{\infty}=\max \left{\left|x_1\right|,\left|x_2\right|, \ldots,\left|x_n\right|\right}
$$
例子
比如 $\vec{x}=(1,-2,3 i)$ ，则 $|\vec{x}|_{\infty}=\max {|1|,|-2|,|3 i|}=3$ 。
矩阵的行和范数
定义
对 $m \times n$ 矩阵 $A=\left(a_{i j}\right), ~ \infty$－范数是矩阵各＂行向量的 $\mathbf{1}$－范数＂的最大值（即＂行和的最大值＂）：
$$
|A|{\infty}=\max {1 \leq i \leq m} \sum{j=1}^n\left|a{i j}\right|
$$
（注：＂行向量的 1 －范数＂是指某一行所有元素的模的和）
例子
比如矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \ 3 i & 4\end{array}\right)$ ：
- 第 1 行的行和：$|1|+|-2|=3$ ；
- 第 2 行的行和：$|3 i|+|4|=3+4=7$ ；
- 因此 $|A|_{\infty}=\max {3,7}=7$ 。
Frobenius 范数（F - 范数）：
$$
|A|F=\sqrt{\sum{i=1}^m \sum_{j=1}^n\left|A_{i j}\right|^2}
$$
例子: $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 4\end{array}\right),|A|_F=\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2}=\sqrt{30} \approx 5.477$
范数类型总结
行和范数（矩阵 $\infty$－范数）：$\max {1 \leq i \leq m} \sum{j=1}^n\left|a_{i j}\right|$ (行元素模的和的最大值) 反映 “行的最大拉伸能力”
$|A|{\infty}\left(\right.$ 或 $\left.|A|r\right)$
最大元素范数
$|A|{m{\infty}}$（或 $|A|{\text {max }}$ ）
列和范数（矩阵 $1-$ 范数）：$\max {1 \leq j \leq n} \sum{i=1}^m\left|a{i j}\right|$ (列元素模的和的最大值) 反映 “列的最大拉伸能力”
$|A|_1$（或 $|A|_c$ ）
谱范数（矩阵 $2-$ 范数）
$|A|_2$
Frobenius 范数
$|A|F\left(\right.$ 或 $\left.|A|{m_2}\right)$
性质（相容性）
自相容：
同一个范数（同一个 “秤”），对 “矩阵乘法” 的结果，满足 “乘积的范数不超过范数的乘积”。
比如用＂$\infty$－范数（行和秤）＂称：
- $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 4\end{array}\right)$ ，行和是 $3 、 7 \rightarrow$ 重量 $|A|_{\infty}=7$ ；
- $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}5 & 6 \ 7 & 8\end{array}\right)$ ，行和是 $11 、 15 \rightarrow$ 重量 $|B|_{\infty}=15$ ；
- $\mathrm{AB}=\left(\begin{array}{ll}19 & 22 \ 43 & 50\end{array}\right)$ ，行和是 $41 、 93 \rightarrow$ 重量 $|A B|_{\infty}=93$ ；
当然这里只是举例子是无穷，其实也可以是第一种范数，第二种范数。也就是使用不同的称，都满足乘积的范数不超过范数的乘积。
相容（未必是自相容）
设 $|\cdot|_a: P^{m \times l} \rightarrow R,|\cdot|_b: P^{l \times n} \rightarrow R$ ， $|\cdot|_c: P^{m \times n} \rightarrow R$ 是矩阵范数，如果
$$
|A B|_c \leq|A|_a \cdot|B|_b
$$
则称矩阵范数 $|\cdot|_a,|\cdot|_b$ 和 $|\cdot|_c$ 相容。
如果
$$
|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| \leq|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|
$$
则称 $|\cdot|$ 是自相容矩阵范数
例题（判断是否是相同范数）：
例 $2 \quad|A|{m{\infty}}=\max {i, j}\left{\left|a{i j}\right|\right} \quad 1 \leq i \leq m \quad 1 \leq j \leq n$是不相容的矩阵范数。
例如 $A=B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \ 1 & 1\end{array}\right) \rightarrow A B=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \ 2 & 2\end{array}\right)$
$$
|A B|{m{\infty}}=2 $|A|{m{\infty}}|B|{m{\infty}}=1
$$
性质（定理3）
定理 3 设 $A \in P^{n \times n}$ ，
（1）若 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，则
$$
|A|F^2=|A|{m_2}^2=\sum_{i=1}^n\left|\alpha_i\right|_2^2
$$
其中，$\left|\alpha_i\right|_2^2=\alpha_i^H \alpha_i$ ．
这个定理只需要梳理清楚两个定义即可。
右边的两个2符号是什么意思：
a.列向量右边的 $\left|\alpha_i\right|2$ 中的＂ 2 ＂：向量的 2 －范数
也就是根号下各元素的平方和
b.求和式 $\sum{i=1}^n\left|\alpha_i\right|_2^{|}$中的右上角＂ 2 ＂：平方运算
这里的＂ 2 ＂是对＂向量 2 －范数＂做平方，比如 $\left|\alpha_i\right|_2$ 是向量的长度，$\left|\alpha_i\right|_2^2$ 就是长度的平方。
注意：这里的向量2范数和矩阵2范数是不同的，而矩阵的F范数和向量的2范数是对应的。
结论：范数的平方不就是 各元素平方和。
（2）$|A|{m_2}^2=\operatorname{tr}\left(A^H A\right)=\sum{i=1}^n \lambda_i\left(A^H A\right)$
这是矩阵迹的基本性质：任意方阵的迹等于其所有特征值之和。
注意，这里不是$\lambda$乘法，而是取特征值。
（3）对任意的酉矩阵 $U$ 、 $V \in P^{n \times n}$ ，有
$$
|A|{m_2}^2=\left|U^H A V\right|{m_2}^2=\left|U A V^H\right|_{m_2}^2
$$
（此结论的证明过程可以了解一下，其实就是以上酉矩阵还有之前结论的充分使用）
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