正规矩阵
定义
1．核心定义（包含酉矩阵、Hermite 矩阵等的＂大家族＂）
若 $n$ 阶复矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^H \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^H$（共轭转置与自身可交换），则称 $\boldsymbol{A}$ 为正规矩阵。
- 酉矩阵： $\boldsymbol{A}^H \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^H=\boldsymbol{E}$（显然可交换）；
- Hermite 矩阵（复对称矩阵的推广）： $\boldsymbol{A}^H=\boldsymbol{A}$（共轭转置等于自身）；
- 反 Hermite 矩阵： $\boldsymbol{A}^H=-\boldsymbol{A}$ ；
- 实对称矩阵、实反对称矩阵（实矩阵中的特例）。
注意：这里的Hermite矩阵就是矩阵转置等于自身。
这里的酉矩阵就是正交矩阵。判断一个矩阵是否是正交矩阵，共轭转置之后，相乘是否是单位矩阵即可。
习题
判断是否是正规矩阵，直接代入定义即可：
例：判断 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}i & i \ i & 1\end{array}\right)$ 是否为正规矩阵。
解：计算 $\boldsymbol{A}^H=\left(\begin{array}{cc}-i & -i \ -i & 1\end{array}\right)$（共轭转置）；
计算 $\boldsymbol{A}^H \boldsymbol{A}$ ：
$$
\boldsymbol{A}^H \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}
-i & -i \
-i & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
i & i \
i & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
(-i) i+(-i) i & (-i) i+(-i) \cdot 1 \
(-i) i+1 \cdot i & (-i) i+1 \cdot 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1-i \
1+i & 2
\end{array}\right)
$$
计算 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^H$ ：
$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^H=\left(\begin{array}{cc}
i & i \
i & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
-i & -i \
-i & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
i(-i)+i(-i) & i(-i)+i \cdot 1 \
i(-i)+1(-i) & i(-i)+1 \cdot 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1+i \
1-i & 2
\end{array}\right)
$$
因 $\boldsymbol{A}^H \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^H$ ，故 $\boldsymbol{A}$ 不是正规矩阵（注意：复对称矩阵 $\neq$ 正规矩阵！）。
广义逆（Moore-Penrose 逆）
定义
1.普通逆矩阵要求矩阵「满秩可逆」（比如 n 阶方阵且行列式≠0）
- 广义逆（记为 $A^{+}$）就是给所有矩阵（包括奇异矩阵、非方阵）定义的＂万能逆＂，满足 4 个温和条件。
2．关键结论（必记）
- 每个矩阵的广义逆 $A^{+}$是「唯一的」（不管怎么求，结果都一样）；
- 普通逆矩阵是广义逆的特例：若 A 可逆，则 $A^{+}=A^{-1}$（比如可逆方阵的广义逆就是它本身的逆矩阵）。
可以理解为，广义逆就是对于矩阵的逆的扩展，让那些不满秩的矩阵也可以有一个属于自己的逆。
计算方式
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