第二章 数学基础·计算题必考点（非基础、套模板直接做）
只整理课程课件例题+作业原题+数据科学核心计算，避开基础加减乘，全是考试高频计算题，直接背公式+步骤就能拿分
一、线性代数 核心计算题（2道必考）
题型1：矩阵的秩计算（课件例题，非基础）
核心步骤：初等行变换→化为行阶梯形→数非零行的行数=秩
模板：
- 对矩阵做初等行变换（只做行变换，不换列）
- 化为行阶梯矩阵（左下角全为0）
- 非零行的数量 = 矩阵的秩
题型2：矩阵奇异值计算（课件例题，SVD核心，必考）
核心公式：奇异值$$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$$（$\lambda_i$是$A^TA$的特征值）
解题步骤：
- 计算$B = A^TA$
- 求特征方程$$|\lambda E - B| = 0$$，得特征值$\lambda_1≥\lambda_2≥…≥\lambda_n$
- 特征值开平方 = 奇异值$\sigma$
二、概率统计 核心计算题（3道必考，含作业原题）
题型1：条件概率+全概率+贝叶斯综合（课件例题）
必背公式
- 条件概率：$$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$$
- 全概率：$$P(B) = \sum P(A_i)P(B|A_i)$$
- 贝叶斯：$$P(A_j|B) = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum P(A_i)P(B|A_i)}$$
解题步骤：先划分完备事件组→算全概率→代贝叶斯公式
题型2：信息熵计算（数据科学核心，简答/计算都考）
公式：$$H(X) = -\sum_{x} p(x) \log p(x)$$
步骤：算每个事件概率→代入公式求和→加负号
题型3：朴素贝叶斯文本分类（作业原题，100%考计算）
核心规则：拉普拉斯平滑（词频+1，避免概率为0）
公式：
$$P(类别|句子) = \frac{P(类别) \times \prod P(词|类别)}{P(句子)}$$
$$P(词|类别) = \frac{该词在类别中出现次数+1}{类别总词数+词典大小}$$
解题步骤：
- 统计侮辱/非侮辱句的总词数、词典大小
- 拉普拉斯平滑算每个词的条件概率
- 代入贝叶斯公式算两类概率，概率大的为分类结果
三、优化理论 核心计算题（1道必考）
题型：凸函数判定（课件softmax例题，非基础）
核心判定：二阶可微函数→Hessian矩阵半正定→凸函数
步骤：
- 求一阶偏导$\nabla f(x)$
- 求二阶偏导得Hessian矩阵$\nabla^2 f(x)$
- 验证矩阵半正定→判定为凸函数
四、图论基础 核心计算题（2道必考）
题型1：无向图顶点度/总节点数计算（课件例题）
核心公式：无向图总度数 = 2 × 边数
步骤：总度数减去已知顶点度数→剩余度数÷单顶点度→求节点数
题型2：拉普拉斯矩阵计算（课件例题，谱聚类核心）
公式：$$\boldsymbol{L = D - A}$$
- $D$：度矩阵（对角矩阵，对角线为各顶点度）
- $A$：邻接矩阵
步骤：画邻接矩阵A→算度矩阵D→D-A直接得拉普拉斯矩阵L
终极计算题速记（30秒背完）
- 秩：行变换→数非零行
- 奇异值：$A^TA$特征值开平方
- 贝叶斯文本：拉普拉斯平滑+连乘概率
- 熵：负的概率乘对数求和
- 拉普拉斯矩阵：度矩阵-邻接矩阵
- 无向图总度=2×边数
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